Екстремум функції

Означення. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх із цього околу виконується нерівність

 

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх із цього околу виконується нерівність

 

Точки мінімуму і максимуму називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в точках мінімуму і максимуму називають максимумами і мінімумами функції або екстремумами функції.

 

Означення. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх із цього околу виконується нерівність

Сформувати навики визначення точок мінімумів та мінімумів функції, використовуючи  малюнок.

Необхідні умови існування екстремуму.

Якщо точка  являється точкою екстремуму функції і в цій точці існує похідна, то .

Достатні умови існування екстремуму функції.

Теорема 1. Нехай функція  неперервна в точці  і в її околі має похідну, крім,можливо самої точки . Тоді:

1)      якщо похідна  при переході через точку  змінює свій знак з плюса на мінус, то точка  являється точкою максимуму функції ;

2)      якщо похідна  при переході через точку  змінює свій знак з мінуса на плюс, то точка  являється точкою мінімуму функції ;

3)      якщо існує окіл точки , в якому похідна  зберігає свій знак, то в точці  дана функція  екстремуму не має.

Теорема 2.Нехай функція , визначена в деякому околі точки , має першу і другу похідні ,, то в точці  функція має екстремум: максимум, за умови,що , мінімум за умови, що .

 

Алгоритм знаходження екстремуму функції за першим правилом:

 

  1. знайти область визначення функції.
  2. знайти похідну і критичні точки.
  3. визначити знак похідної в околі кожної критичної точки.
  4. якщо при переході через таку точку похідна змінює свій знак, то в даній точці існує

екстремум: мінімум, якщо похідна змінює свій знак з мінуса на плюс, та максимум, якщо похідна змінює свій знак з плюса на мінус.

 

Алгоритм знаходження екстремуму функції за другим правилом:

 

  1. знайти область визначення функції.
  2. знайти похідну і стаціонарні точки.
  3. в кожній стаціонарній точці обчислити другу похідну. Якщо , то

      точка максимума, якщо , то  - точка мінімума.