Ознаки сталості, зростання, спадання, функції

Функція називається строго зростаючою на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Навести приклади елементарних функцій, які є строго зростаючими на всій області визначення.

 Функція називається не спадною на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу відповідає не менше значення функції.

Функція називається строго спадною на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Навести приклади елементарних функцій, які є строго спадними на всій області визначення.

Функція називається незростаючою на інтервалі , якщо більшому значенню аргументу відповідає не більше значення функції.

Інтервали, де функція зростає або спадає називаються інтервалами монотонності.

Необхідні умови зростання і спадання функції.

Якщо диференційована функція ,  , зростає на інтервалі , то для довільного х із інтервалу

Якщо диференційована функція ,  , спадає на інтервалі , то для довільного х із інтервалу .

Якщо диференційована функція ,  , стала на інтервалі , то  для довільного х із інтервалу

Достатні умови зростання і спадання функції.

Якщо функція  має невід’ємну похідну в кожній точці  інтервалу ,то функція  зростає на інтервалі .

Якщо функція  має недодатну похідну в кожній точці  інтервалу  ,то функція  спадає на інтервалі .

Якщо функція  має від’ємну похідну в кожній точці  інтервалу ,то функція  строго спадає на інтервалі .

Якщо функція  має додатну похідну в кожній точці  інтервалу ,то функція  строго зростає на інтервалі .

Критичними точками функції  називаються внутрішні точки області визначення, в яких похідна дорівнює нулю або не існує.

Для визначення інтервалів монотонності функції треба:

1. знайти область визначення функції.
2. Знайти похідну . Знайти критичні точки функції , розв’язавши рівняння =0.

3. На числовому промені відмітити область визначення функції та її критичні точки. Критичні точки розбивають область визначення на інтервали, в яких похідна має сталий знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності.

4. Визначити знак  на кожному інтервалі монотонності. Якщо на інтервалі , то функція на цьому інтервалі зростає, якщо , то функція на цьому інтервалі спадає.